SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-KUADRAT & CONTOH SOALNYA

 SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-KUADRAT & CONTOH SOALNYA

November 17, 2021

Nama : Nur Fitri Zahra

Kelas : X MIPA 3 

Absen : 26

Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta 

 SISTEM PERTIDAKSAMAAN KUADRAT-KUADRAT

 

Sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel terdiri dari dua pertidaksamaan kuadrat. Salah satu metoda yang paling populer dalam menyelesaikannya adalah dengan metoda grafik. 

Bentuk umum sistem pertidaksamaan dua variabel kuadrat-kuadrat , yaitu : 

\left\{\begin{matrix} y\geq ax^{2}+bx+c\\ y\leqslant px^{2}+qx+r \end{matrix}\right.  

a, b, c bilangan real dan a ≠ 0.

Langkah-Langkah Penyelesaian

Langkah 1

Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hingga menjadi “sama dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol.

x2 + x – 6 = 0 ,difaktorkan

menjadi (x +3)(x-2) = 0

Pembuat nol dari persamaan tersebut bisa dicari dengan memakai cara ini..

Pertama gunakan :

x + 3 = 0

x = -3

Kedua kita gunakan :

x – 2 = 0

x = 2

Maka, pembuat nolnya sudah didapat yaitu -3 dan 2.

 

Langkah 2

Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, Lalu tentukan tanda masing-masing interval dengan cara mensubstitusi sembarang bilangan yang ada pada tiap interval ke persamaan pada ruas kiri. Tulis (+) adai hasil substitusi adalah bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi adalah bernilai negatif.

Catatan :

Tanda untuk tiap interval yaitu slalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali jika akar-akar yang didapat sama (kembar)

Tips :

Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup cari tanda pada satu interval saja, sisanya tinggal ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).

Langkah 3

Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran.

Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda positif (+).

Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian yang berada pada interval bertanda negatif (−).

Langkah 4

Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.

Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval

 

CONTOH SOAL 

1. Gambarlah kedua pertidaksamaan kuadrat berikut ini dalam satu sistem koordinat Cartesius, kemudian tentukan daerah penyelesaiannya

y > x2 – 9

y ≤ –x2 + 6x – 8

Jawab = 

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

      x2 – 9 = 0

     (x + 3)(x – 3) = 0

      x = –3 dan x = 3

Titik potongnya (–3, 0) dan (3, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

      y = x2 – 9

      y = (0)2 – 9

      y = –9

Titik potongnya (0, –9)

(3) Menentukan titik minimum fungsi y = x2 – 9

(4) Gambar daerah penyelesaiannya

(Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

2. Gambar daerah penyelesaian pertidaksamaan y ≤ –x2 + 6x – 8

Jawab = 

(1) Tititk potong dengan sumbu-X syarat y = 0

      –x2 + 6x – 8 = 0

        x2 – 6x + 8 = 0

     (x – 4)(x – 2) = 0

      x = 4 dan x = 2

Titik potongnya (4, 0) dan (2, 0)

(2) Tititk potong dengan sumbu-Y syarat x = 0

      y = –x2 + 6x – 8

     y = –(0)2 + 6(0) – 8

     y = –8

Titik potongnya (0, –8)

(3) Menentukan titik maksimum fungsi y = –x2 + 6x – 8

(4) Gambar daerah penyelesaiannya

(Daerah yang diarsir adalah daerah penyelesaian)

Daerah penyelesaian kedua pertidaksamaan itu adalah irisan dua daerah penyelesaian masing-masing pertidaksamaannya, yakni:

3. Tentukan HP dari −x² − 3x + 4 > 0

Jawab = 

Pembuat nol

−x² − 3x + 4 = 0

x² + 3x − 4 = 0

(x+4) (x−1) = 0

x = −4 atau x = 1

Untuk interval −4 < x < 1, ambil x = 0

−x² − 3x + 4 = −(0)² − 3(0) + 4 = 4 (+)

Karena pertidaksamaan bertanda “>” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {−4 < x < 1}

4. Tentukanlah HP dari x² − 2x − 3 ≥ 0

Jawab =

Pembuat nol

x² − 2x − 3 = 0

(x+1) (x−3) = 0

x = −1 atau x = 3

Untuk interval −1 < x < 3, ambil x = 0

x² − 2x − 3 = (0)² − 2(0) − 3 = −3 (−)

 

Karena pertidaksamaan bertanda “≥” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (+).

∴ HP = {x ≤ −1 atau x ≥ 3}

5. x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

Jawab = 

Terlebih dulu ubah dalam bentuk umum pertidaksamaan kuadrat yaitu:

x(3x + 1) < (x + 1)² − 1

⇔ 3x² + x < x² + 2x + 1 − 1

⇔ 2x² − x < 0

Pembuat nol :

2x² − x = 0

x ( 2x − 1 ) = 0

x = 0 atau x = 1/2

Untuk interval x > 1/2 maka ambil x = 1

2x² − x = 2(1)² − 1 = 1 (+)

Sebab pertidaksamaan bertanda “<” , Jadi, daerah penyelesaian ada pada interval yang bertanda (−).

∴ HP = {0 < x < 1/2}

6. Dio akan melemparkan bola dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 8t-t2. Indra akan melempar bola 2 detik setelah Dio dan menginginkan ketinggian bolanya paling tidak mencapai 10t-t2 (t dalam detik). Pada detik keberapa bola Dio dan bola Indra akan berada pada ketinggian yang sama? Berapa ketinggiannya?

Jawab =

h1 = Ketinggian bola Dio

h2 = Ketinggian bola Indra

Menentukan pertidaksamaan untuk ketinggian masing-asing bola.

h1 ≤ 8t-t2

Bola indra dilempar 2 detik setelah bola Dio,maka:

h2 ≤ 10(t-2) - (t-2)2↔ h2 ≤ 10t-20 - (t2 – 4t + 4)

h2 ≤ 10t-20 - t2 + 4t – 4

h2 ≤ - t2 + 14t – 24

Ketinggian tidak boleh nol, maka h1 ≥ 0 dan h2 ≥ 0

Sistem pertidaksamaan yang menyatakan ketinggian dari kedua bola pada waktu (t) yang bersamaan adalah:

Dengan h1 ≥ 0 dan h2 ≥ 0

Langkah selanjutnya adalah menggambar grafik h1 = -t2 + 8t, kemudian menggambar grafik

h2 = -t2 + 14t – 24

Menggambar grafik h1 = -t2 + 8t

h1 = -t2 + 8t merupakan parabola yang mempunyai nilai a = -1 ,b = 8 dan c = 0. a = -1 , maka parabola terbuka kebawah.

Titik potong dengan sumbu t.

h = 0↔-t2 + 8t = 0

↔t (-t + 8) = 0

↔t = 0 atau t = 8.

Jadi , titik potong grafik h1 = -t2 + 8 dengan sumu t adalah (0,0) dan (8,0).

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 7

Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan. Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (1,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan h1 ≤ -t2 + 8t diperoleh 0 < 7. Jadi daerah pertidaksamaan h1 ≤ -t2 + 8t berada dibawah kurva h1 = -t2 + 8t. Karena h1 ≥ 0 , maka diperoleh daerah penyelesaian seperti diatas.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 8

Menggambar grafik h2 = -t2 + 14t – 24.

h2 = -t2 + 14t – 24 merupakan parabola yang mempunyai nilai a = -1 ,b = 14 dan c = -24.

a = -1, maka parabola terbuka ke bawah.

Titik potong dengan sumbu t.

h = 0↔- t2 + 14t – 24 = 0

↔ t2 - 14t + 24 = 0

↔(t – 2) (t – 12)= 0

↔t = 2 atau t = 12.

Jadi, titik potong dengan sumbu t adalah (2,0) dan (12,0).

Koordinat titik puncak (-b/2a,-D/4a) = (7,25)

Uji titik untuk menentukan daerah pertidaksamaan.

Ambil sembarang titik dibawah kurva, misalkan (5,0). Subtitusikan pada pertidaksamaan h2 ≤ -t2 + 14t – 24 diperoleh 0 < 21. Jadi, daerah pertidaksamaan h2 ≤ -t2 + 14t – 24 berada dibawah kurva h2 = -t2 + 14t – 24. Karena h2 ≥ 0, maka diperoleh daerah penyelesaian seperti dibawah.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 9

Langkah selanjutnya adalah menggabungkan kedua kuadrat grafik dalam satu sistem koordinat cartesius seperti gambar dibawah.

Diperoleh daerah himpunan penyelesaian dari sistem pertidaksamaan tersebut yang merupakan irisan dari masing-masing daerah himpunan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat yang membentuknya.

sistem pertidaksamaan kuadrat dua variabel 10