SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT & CONTOH SOALNYA

 SISTEM PERSAMAAN KUADRAT-KUADRAT & CONTOH SOALNYA

1A3_Nur Fitri Zahra (6)_Matematika Wajib, SMAN 63 Jakarta

 SP

APA ITU SPKK

Sistem persamaan kuadrat dan kuadrat (SPKK) 

terdiri atas dua persamaan kuadrat yang masing-masing memuat dua variabel.

memiliki beberapa macam bentuk, tetapi kita hanya akan  membahas bentuk yang paling sederhana, yaitu  kuadrat berbentuk eksplisit.

y = ax2 + bx + c ……………. (bagian kuadrat pertama

y = px2 + qx + r ……………. (bagian kuadrat kedua

Dengan a, b, c, p, q, dan r merupakan bilangan-bilangan real

CARA PENYELESAIAN SPKK 

Langkah 1: Subtitusikan 

Langkah 2: Selesaikan persamaan kuadrat baru

Langkah 3: Subtitusikan nilai x 

CONTOH SOAL

1. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya

y = x

y = 2x2 – 3

Jawab

Subtitusikan  =

⇒2x2 – 3x sehingga diperoleh

⇒ x2 = 2x

⇒ 2x2 – x2 – 3x = 

⇒ x2 – 3x = 

⇒ x(x – 3) = 

⇒ x = 0 atau x = 

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = 0 dan x = 

■ Untuk x = 0 diperoleh

⇒ y = x

⇒ y = (0)

⇒ y = 

■ Untuk x = 3 diperoleh

⇒ y = x

⇒ y = (3)

⇒ y = 

Dengan demikian, himpunan penyelesaian SPKK itu adalah {(0, 0), (3, 9)}. Anggota-anggota dari himpunan penyelesaian SPKK tersebut secara geometris dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara parabola y = x2 dengan parabola y = 2x2 – 3x. Untuk lebih jelasnya, perhatikan gambar di bawah ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

2. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya

y = x2 – 

y = x2 – 2x – 

Jawab

Subtitusikan 

⇒ x2 – 1 = x2 – 2x – 

⇒ x2 – x2 = –2x – 3 + 

⇒ 2x = –

⇒ x = –

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = –1 ke persamaan y = x2 – 

⇒ y = x2 – 

⇒ y = (–1)2 – 

⇒ y = 1 – 

⇒ y = 

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(–1, 0)}. Tafsiran geometrinya adalah grafik parabola y = x2 – 1 dan parabola y = x2 – 2x – 3 berpotongan di satu titik, yaitu di (–1, 0). Perhatikan gambar di bawah ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

3. Tentukan himpunan penyelesaian SPKK berikut dan gambarkan sketsa grafik tafsiran geometrinya

y = −2x

y = x2 + 2x + 

Jawab

Subtitusikan 

⇒ −2x2 = x2 + 2x + 

⇒ 2x2 + x2 + 2x + 1 = 

⇒ 3x2 + 2x + 1 = 

Persamaan kuadrat ini tidak mempunyai akar real karena nilai diskriminannya = bilangan negatif

D = b2 – 4a

Dengan a = 3, b = 2 dan c = 1 sehingga

⇒ D = (2)2 – 4(3)(1

⇒ D = 4 – 1

⇒ D = –

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah himpunan kosong atau ditulis sebagai {∅}. Tafsiran geometrisnya adalah grafik parabola y = −2x2 dan y = x2 + 2x + 1 tidak berpotongan dan tidak bersinggungan seperti yang diperlihatkan pada gambar berikut ini

grafik penyelesaian SPKK (sistem persamaan kuadrat dan kuadrat

4. Misalkan diketahui SPKK berikut ini

y = 3x2 + 

y = x2 – 2x – 

■ Tentukan nilai m agar SPKK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya

■ Tentukan himpunan penyelesaian yang dimaksud itu

Jawab

Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari suatu SPKK ditentukan berdasarkan nilai diskriminan, dengan kriteria sebagai berikut

Jika D > 0, SPKK mempunyai dua himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di dua titik)

Jika D = 0, SPKK mempunyai satu himpunan penyelesaian (parabola berpotongan di satu titik atau saling bersinggungan)

Jika D < 0, SPKK tidak mempunyai himpunan penyelesaian (parabola tidak berpotongan atau bersinggungan)

Dengan demikian, agar SPKK tersebut tepat memiliki satu himpunan penyelesaian maka nilai diskriminan dari persamaan kuadrat gabungan harus sama dengan nol. Persamaan kuadrat gabungan didapat dengan mensubtitusikan persamaan kuadrat y = 3x2 + m ke persamaan kuadrat y = x2 – 2x – 8 sehingga diperole

⇒ 3x2 + m = x2 – 2x – 

⇒ 3x2 – x2 + 2x + 8 + m = 

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 

Dari sini kita peroleh persamaan kuadra gabungan, dengan nilai a = 2, b = 2 dan c = 8 + m. Agar persamaan kuadrat ini hanya memiliki satu himpunan penyelesaian maka D = 0, sehingga

⇒ b2 – 4ac = 

⇒ (2)2 – 4(2)(8 + m) = 

⇒ 4 – 8(8 + m) = 

⇒ 4 – 64 – 8m = 

⇒ –60 – 8m = 

⇒ 8m = –6

⇒ m = –60/

⇒ m = –15/

⇒ m = –7,

Dengan demikian nilai m adalah –7,5

Sekarang masukkan nilai m yang telah diperoleh ke persamaan kuadrat gabungan sehingga diperoleh persamaan sebagai berikut

⇒ 2x2 + 2x + (8 + m) = 

⇒ 2x2 + 2x + ((8 + (–7,5)) = 

⇒ 2x2 + 2x + 0,5 = 

Untuk menghilangkan desimal, kedua ruas kita kalian 

⇒ 4x2 + 4x + 1 = 

Kemudian, kita faktorkan untuk memperoleh nilai 

⇒ (2x + 1)2 = 

⇒ (2x + 1) = 

⇒ 2x = −

⇒ x = −1/

Selanjutnya, subtitusikan nilai x = −1/2 ke persamaan y = x2 – 2x – 8 sehingga diperoleh

⇒ y = x2 – 2x – 

⇒ y = (−1/2)2 – 2(−1/2) – 

⇒ y = 1/4 + 1 – 

⇒ y = 1/4 –

⇒ y = −27/

Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari SPKK tersebut adalah {(−1/2, −27/4)}

5. Diketahui persamaan y = x² – 2 dan y = x² – 3x – 8. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut? Jawaban =  disubstitusika

  x² – 2 = x² – 3x – 

x² – x² = -3x – 8 + 

      3x = -

        x =  -

Nilai x = -2 disubstitusikan ke y = x² – 2, maka

y = x² – 

y = (-2)² – 

y = 4 – 

y = 

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {(-2. 2)}

6. Diketahui persamaan y = -3x² dan y = x² + 3x + 2. Hitunglah himpunan penyelesaian SPKK tersebut?

Jawaban =  disubstitusikan  

-3x² = x² + 3x + 

3x² + x² + 3x + 2 = 

          4x² + 3x + 2 = 

Cara menyelesaikan sistem persamaan kuadrat kuadrat selanjutnya menggunakan konsep diskriminan karena akar akar real tidak dimiliki oleh persamaan kuadrat di atas. Untuk itu diskriminannya akan memiliki nilai bilangan negatif, maka hasilnya

4x² + 3x + 2 = 0, dimana a = 4, b = 3 dan c = 

D = b² – 4a

D = (3)² – 4(4)(2

D = 9 – 3

D = -2

Jadi himpunan penyelesaian SPKK tersebut ialah {∅} atau himpunan kosong.

7. Himpunan penyelesaian dari sistem persamaan di bawah ini adalah

soal sp

A. {(5,2),(2,3

B. {(2,-5),(2,-3)

C. {(-2,5),(2,-3)

D. {(-2,-3),(2,-5)

E. {(-3,5),(2,-2)

Jawab

Substitusikan persamaan dari y = x2 -2x – 3 ke dalam persamaan y = -x2 -2x + 5, sehingg

x2 -2x – 3 = -x2 -2x +

<=> 2x2 -8 = 

<=> x2 – 4 = 

<=> (x – 2)(x + 2) = 

<=> x = 2 atau x = -

Untuk x =

y = x2 – 2x – 

y = (2)2 -2 (2) – 

y = 4 – 4 – 

y = -

Untuk x = 

y = x2 – 2x – 

y = (-2)2 -2 (-2) – 

y = 4 + 4 – 

y = 

Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3

Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: 

C.)}5333-23333 22000 5a::}}}})}k: 32)c2:002  .2222:2628n.47888:2100x02000..528000000:008h:.3.2.1.:..8m.).82):c.001=:12.).011111213=:31.).922:022:330002: :x2.     .))  ➞?KKa1 -2 (-2) – 3

y = 4 + 4 – 3

y = 5

Maka dari itu, himpunan penyelesaiannya dari soal di atas adalah {(-2,5),(2,-3)}

Sehingga jawaban yang paling tepat adalah: C.